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W15
We saw this simple two-link robot in the previous lecture about forward kinematics.
我們在前面看到了這個簡單的雙連桿機器人關於正向運動學的講座。
The tooltip pose of this robot is described simply by two numbers, the coordinates x and y with respect to the world coordinate frame.
描述了該機器人的工具提示位姿 簡單地由兩個數字，坐標 x 和 y 相對於世界坐標系。
So, the problem here is that given x and y,we want to determine the joined angles, Q1 and Q2.
所以，這裡的問題是，給定 x 和 y，我們要確定連接的角度 Q1 和 Q2。
The solution that we’re going to follow in this particular section is a geometric one.
我們將遵循的解決方案在這個特定的部分是一個幾何一。
We’re going to start with a simple piece of construction.
我們將從一個簡單的作品開始的建設。
We’re going to overlay the red triangle on top of our robot.
我們將覆蓋紅色三角形在我們的機器人之上。
We know that the end point coordinate is x, y, so the vertical height of the triangle is y, the horizontal width is x.
我們知道終點坐標是x， y，所以三角形的垂直高度 是 y，水平寬度是 x。
And, using Pythagoras theorem, we can writer squared equals x squared plus y squared.
並且，使用畢達哥拉斯定理，我們可以寫出 r 平方等於 x 平方加上 y 平方。
Now, we’re going to look at this triangle highlighted here in red and we want to determine the angle alpha.
現在，我們要看看這個三角形 此處以紅色突出顯示，我們想確定 角度α。
In order to do that, we need to use the cosine rule.
為了做到這一點，我們需要使用餘弦規則。
And, if you’re a little rusty on the cosine rule, here is a bit of a refresher.
而且，如果你對余弦有點生疏 規則，這裡有一點複習。
We have an arbitrary triangle.
我們有一個任意三角形。
We don’t have to have any right angles in it and we’re going to label the length of this edge as A and the angle opposite that edge, we’re going to label as little a.
我們不必有任何直角 它，我們將標記長度 這條邊作為 A 和相反的角度 邊緣，我們將標記為小 a。
And, we do the same for this edge and this angle, and this edge and this angle.
而且，我們對這條邊和這條邊做同樣的事情 角度，還有這條邊和這個角。
So, all together, the sides are labelled capitals A, B and C, and the angles are labelled little a, little b, and little c.
所以，總而言之，雙方都被標記為首都 A、B 和 C，角度標記為小 a、小b和小c。
So, the cosine rule is simply this relationship here.
所以，餘弦規則就是這種關係 這裡。
It’s a bit like Pythagoras’ theorem except for this extra term on the end with the cos a in it.
這有點像畢達哥拉斯定理，除了 對於這個額外的術語，最後的 cos 一個在裡面。
Now, let’s apply the cosine rule to the particular triangle we looked at a moment ago.
現在，讓我們將餘弦規則應用於我們看了一會兒特定的三角形前。
It’s pretty straightforward to write down this particular relationship.
寫下來很簡單這種特殊的關係。
We can isolate the term cos alpha which gives us the angle alpha that we’re interested in.
我們可以隔離術語 cos alpha，它給出我們感興趣的角度α 在。
And, it’s defined in terms of the constant link lengths, A1 and A2 and the position of the end effector, x and y.
而且，它是根據常數定義的鏈接長度，A1 和 A2 以及位置末端執行器，x 和 y。
We can write this simple relationship between the angles alpha and Q2.
我們可以寫出這個簡單的關係角α和Q2。
And, we know from the shape of the cosine function that cos of Q2 must be equal to negative of cos alpha.
而且，我們從餘弦的形狀知道 Q2 的 cos 必須等於負的函數 cos 阿爾法。
This time, let’s just write an expression for the cosine of the joined angle Q2.
這一次，我們只寫一個表達式對於連接角 Q2 的餘弦。
Now, we’re going to draw yet another red triangle and we’re going apply some simple trigonometry here.
現在，我們要再畫一個紅色 三角形，我們將應用一些簡單的 三角函數在這裡。
If we know Q2, then we know this length and this length of the red triangle.
如果我們知道 Q2，那麼我們就知道這個長度和這個紅色三角形的長度。
We can write this relationship for the sine of the joined angle Q2.
我們可以把這個關係寫成正弦 的連接角 Q2。
Now, we can consider this bigger triangle whose angle is beta and this side length of the triangle is given here in blue.
現在，我們可以考慮這個更大的三角形 其角為β，此邊長為 三角形在這里以藍色給出。
And, the length of the other side of the triangle is this.
並且，這是三角形另一邊的長度。
So, now we can write an expression for the angle beta in terms of these parameters here.
所以，現在我們可以寫一個表達式 這裡的這些參數的角度β。
Going back to the red triangle that we drew earlier, we can establish a relationship between Q1 and the angle beta.
回到我們畫的紅色三角形之前，我們可以建立之間的關係 Q1 和角β。
Introduce yet another angle, this one gamma and we can write a relationship between the angle gamma and the tooltip coordinates x and y.
介紹另一個角度，這個伽馬我們可以寫出之間的關係角度伽馬和工具提示坐標 x 和y。
Now, we can write a simple relationship between the angles that we’ve constructed, gamma and beta and the joined angle we’re interested in which is Q1.
現在，我們可以寫出一個簡單的關係我們構建的角度，伽馬和 beta 以及我們感興趣的連接角其中是 Q1。
And, the total relationship looks something like this.
而且，總的關係看起來有些東西像這樣。
Quite a complex relationship, it gives us the angle of joined one, that’s Q1 in terms of the end effector coordinates y and x, and a bunch of constants, a1 and a2, and it’s also a function of the second joint angle, Q2.
相當複雜的關係，它給了我們連接的角度，即 Q1 末端執行器坐標 y 和 x，以及一堆常量，a1 和 a2，它是也是第二關節角度的函數， Q2。
So, let’s summarize what it is that we have derived here.
所以，讓我們總結一下我們有什麼派生於此。
We have an expression for the cosine of Q2 and we have an expression for Q1.
我們有 Q2 的餘弦表達式 我們有 Q1 的表達式。
Now, the cosine function is symmetrical about 0.
現在，餘弦函數關於0。
So, if we know the value of the cosine of Q2, then there are two possible solutions, a positive angle and a negative angle.
所以，如果我們知道餘弦值 Q2，那麼有兩種可能的解決方案， 一個正角和一個負角。
We’re going to explicitly choose the positive angle, which means that I can write this expression here.
我們將明確選擇積極的角度，這意味著我可以寫出這個表達式這裡。
And now, we have what we call the inverse kinematic solution for this two-link robot.
現在，我們有了我們所說的逆這個雙連桿機器人的運動學解決方案。
We have an expression for the two joined angles, Q1 and Q2 in terms of the end effector pose x and y, and a bunch of constants.
我們有兩個連接角的表達式， Q1 和 Q2 在末端執行器姿勢方面 x 和 y，以及一堆常量。
You notice that the two equations are not independent.
你注意到這兩個方程不是獨立的。
The equation for Q1, in fact, depends on the solution for Q2.
事實上，Q1 的方程取決於 Q2 的解決方案。
In this case, Q2 is negative and we’re going to write the solution for Q2 with a negative sign in front of the inverse cosine.
在這種情況下，Q2 是負數，我們將用負數寫出 Q2 的解符號在反餘弦前面。
Now, we need to solve for Q1, so we’re going to introduce this particular red triangle, the angle beta that we solved previously, and the angle gamma which is defined in terms of y and x.
現在，我們需要解決 Q1，所以我們要介紹這個特殊的紅色三角形， 我們之前求解的角度β， 以及用術語定義的角度伽馬 y 和 x。
Now, we write a slightly different relationship between Q1, gamma and beta, different to what we had before.
現在，我們寫一個稍微不同的關係在 Q1、gamma 和 beta 之間，與什麼不同我們以前有過。
There’s a change of sign involved.
涉及到符號的變化。
Then, we can substitute all that previous equation and come up with this expression for Q1.
然後，我們可以替換之前的所有方程並提出這個表達式對於 Q1。
Again, there is a change of sign here.
同樣，這裡的符號發生了變化。
Previously, this was a negative sign.
以前，這是一個負面信號。
And, here in summary form is the solution for the inverse kinematics of our two-link robot when it is in this particular configuration, where Q2 is negative.
而且，這裡是總結形式的解決方案對於我們的雙連桿的逆運動學當機器人處於這種特定配置時， 其中 Q2 為負。
Let’s compare the two solutions.
讓我們比較這兩種解決方案。
The case where Q2 is positive and the case where Q2 is negative.
案子其中 Q2 為正，Q2 為正的情況是否定的。
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